Как найти перелом функции

График функции y = x3 с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Определения[править | править код]

Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак.
Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую[1].

Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция при при , которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).

Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю[4].
Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления[1].

Дифференцируемая функция имеет точку перегиба (x, f(x)) тогда и только тогда, когда её первая производная, f′, имеет изолированный экстремум в точке x (это не то же самое, что f имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки x имеется одна и только одна точка, в которой f′ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции f′ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике f, в которой касательная пересекает кривую[5][6].

Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего[1].

Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.

Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух[7].

Свойства[править | править код]

Точка перегиба однозначно характеризуется двумя свойствами:

Если кривая задана как график дифференцируемой функции , точка перегиба является точкой экстремума для .

Необходимое и достаточное условия[править | править код]

График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена синим цветом, где кривая выпукла (выше касательной), зелёным, где кривая вогнута (под касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π

Если x является точкой перегиба для f, то вторая производная, f″(x), равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления [8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.

Определение предполагает, что f имеет ненулевую производную более высокого порядка по x, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак f′(x) постоянен по обеим сторонам от x в окрестности точки x.

Достаточное условие точки перегиба:

1) Достаточным условием точки перегиба является:

Если f(x) k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x, где k нечётно и k ≥ 3, f(n)(x0)=0 для n = 2,…,k — 1 и f(k)(x0) ≠ 0, то x0 является точкой перегиба f(x).

2) Другое достаточное условие требует, чтобы и имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная[2].

Классификация точек перегиба[править | править код]

Точки перегиба можно классифицировать согласно производной f′(x).

если f′(x) равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
если f′(x) не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба

y = x4 — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).

Примером седловой точки является точка (0,0) графика y = x3. Касательной служит ось x и она разделяет график в этой точке.

Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции y = x3, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.

Читайте также: Перелом экзостоза

Функции с разрывами[править | править код]

Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию 2x2/(x2 — 1). Она выпукла при |x| > 1 и вогнута при |x| < 1. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку 1 и −1 не принадлежат области определения функции.

См. также[править | править код]

Критическая точка
Экологический порог[en]
Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
Стрельчатая S-образная арка[en], архитектурная форма с точками перегиба
Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны

Примечания[править | править код]

↑ 1 2 3 4 Шикин, 1997, с. 39.
↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005, с. 231.
↑ Фихтенгольц, 2001, с. 305.
↑ Шикин, 1997, с. 27.
↑ Фихтенгольц, 2001, с. 294—305.
↑ Кудрявцев, 1981, с. 190—195.
↑ Point of inflection. encyclopediaofmath.org.
↑ Рашевский, 1950, с. 18—19.

Литература[править | править код]

Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8, ББК 22.15.
I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Handbook of Mathematics. — 5. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-72121-5.
Л. Д. Кудрявцев. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. — Москва: «Высшая школа», 1981. — Т. 1. — С. 190—195.
Г. М. Фихтенгольц. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — ISBN 5-9221-0156-0.
П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. — Москва, Ленинград: Государственное издательство техническо-теоретической литературы, 1950.
Weisstein, Eric W. Inflection Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Point of inflection, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Ссылки[править | править код]

Inflection Points of Fourth Degree Polynomials

Источник

Перелом

Перелом – это нарушение целостности кости. В зависимости от его характера, образуется либо два отломка, либо два и более осколка. Конечно же, в этом случае кость временно не может выполнять свои функции – обеспечение опоры и движения.

В организме есть механизм, отвечающий за восстановление: костная ткань может срастаться. Но для того чтобы это произошло быстро и правильно, нужно правильно сопоставить и зафиксировать отломки.

Решением этой задачи и занимается врач-травматолог.

В ЦЭЛТ вы можете получить консультацию специалиста-травматолога-ортопеда.

Первичная консультация — 2 700
Повторная консультация — 1 800

Записаться на прием

Причины

Для того чтобы кость сломалась, необходимо наличие одной из следующих причин:

Сильный удар каким-либо предметом. В том месте, где он пришелся, кость может сломаться.
Падение. Зачастую оно происходит с высоты. Но иногда для того, чтобы что-то сломать, достаточно упасть с высоты собственного роста.
Сильное сдавление кости. Например, обломками различных обвалившихся массивных конструкций.
Чрезмерное насильственное движение. Например, часто происходит винтообразный перелом большеберцовой кости при повороте ноги, например, во время катания на коньках.

Симптомы

Для всех видов переломов костей характерны определенные общие симптомы:

Боль. Во время травмы она сильная, острая, а после становится тупой. Усиление боли при осевой нагрузке.
Деформация. Если отломки смещаются относительно друг друга, то нога или рука принимает неестественную форму.
Припухлость. Она начинает нарастать сразу после травмы.
Подкожное кровоизлияние – гематома. Острые отломки костей повреждают мелкие кровеносные сосуды, и кровь из них изливается под кожу.
Нарушение функции. Если попросить пострадавшего пошевелить поврежденной ногой или рукой, то это не получится сделать из-за сильной боли, растяжения мышц и повреждения связок.

Наиболее опасны переломы костей черепа, позвонков, ребер, тазовых костей. Они могут приводить к повреждению внутренних органов и нервной системы. Опасность также представляют множественные переломы, они могут привести к шоковому состоянию.

Признаки перелома

Существуют относительные и абсолютные признаки перелома. Среди относительных следующие:

Гематомы по причине внутреннего кровоизлияния из-за травмы сосудов. В зоне перелома наблюдается отечность и большая гематома, прикосновение к которой вызывает острую боль.
Режущая и нестерпимая боль в пораженной области. В редких случаях люди теряют сознание от болевого шока.
Невозможность пошевелить конечностью (полная потеря двигательной функции).
Отечность мягких тканей свидетельствует о переломе или вывихе.

Абсолютные признаки перелома:

При открытых переломах отчетливо видны осколки, а при закрытых обнаруживается искривление кости и неестественная позиция (разрыв мягких тканей отсутствует).
Появление щелчков и хрустов, а также излишней подвижности в пораженной зоне.
Потеря двигательной функции (человек не может пошевелить конечностью и испытывает острую боль). Часто симптомы напоминают сильный ушиб или вывих, поэтому требуется дифференциальная диагностика.

Виды переломов

Перелом

Травматические – появляются по причине повреждения костей, что приводит к изменению формы, целостности и структуры. Тяжелые травмы могут появиться вследствие ДТП, падения, ударов в контактных видах единоборств или в профессиональном спорте.

Патологические – возникают из-за нарушения плотности костей. Часто происходят при таких заболеваниях как остеопороз и остеомиелит. В группу риска попадают пожилые люди и дети, так как в их организме часто наблюдается недостаток кальция.

Также происходит разделение на полные и неполные переломы. При полных наблюдается смещение костей и проникновение осколков в мягкие ткани, а при неполных частичное разрушение костной ткани из-за ударов (образуются трещины).

Всего существует 6 видов переломов, которые зависят от направления повреждения кости:

Винтообразные – происходит проворачивание костей.
Оскольчатые – это травмы, которые сопровождаются дроблением костей и проникновением осколков в мягкие ткани.
Поперечные – линия перелома примерно перпендикулярна оси трубчатой кости.
Клиновидные – кости вдавливаются друг в друга при ударе.
Продольные – линия перелома примерно параллельна оси трубчатой кости.
Косые – на снимке виден прямой угол между осью кости и линией перелома.

Открытый перелом

Легко определяется травматологом, поскольку осколки кости отчетливо видны из-за разрыва мягких тканей. Это самая тяжелая степень, потому что в открытую рану быстро проникают инфекции и болезнетворные бактерии. При несвоевременном обращении к врачу может начаться развитие гангрены. Если не начать лечение, то возможен летальный исход.

Закрытый перелом

Характеризуется нарушением целостности кости без разрыва мягких тканей и проникновения инфекции. Часто наблюдается смещение костей, поэтому для точной диагностики специалисты используют рентгенографию. В эту категорию также входят трещины, которые вызывают острую боль и нарушают подвижность конечности. Если не проводить лечение трещины, то возможна деформация костной ткани.

Первая помощь

При подозрении на перелом нужно обеспечить пострадавшему полный покой, обездвиживание, надежную фиксацию области предполагаемого перелома. Например, руку можно уложить в косынку, примотать бинтами или обрывками одежды к туловищу, плотной доске или куску арматуры. Ногу можно прибинтовать к арматуре, к доске, к здоровой ноге.

При подозрении на перелом позвоночника нужно уложить человека на плотный деревянный щит или на любую плотную ровную поверхность. В зависимости от тяжести травмы, нужно немедленно либо отвезти пострадавшего в травмпункт, либо вызвать «Скорую помощь». В многопрофильной клинике ЦЭЛТ лечением переломов занимаются высококвалифицированные врачи-травматологи.

Диагностика

Повреждение костей легко выявляется во время рентгенографии. На рентгеновских снимках хорошо видна трещина или линия перелома. Если возникают сомнения, то проводят компьютерную томографию – исследование, которое помогает еще более точно и детально оценить состояние костей.

Наши врачи

Марина Виталий Семенович

Врач травматолог-ортопед, заведующий службой малоинвазивной травматологии и ортопедии

Стаж 35 лет

Записаться на прием

Зубиков Владимир Сергеевич

Врач травматолог-ортопед, доктор медицинских наук, врач высшей категории, профессор

Стаж 43 года

Записаться на прием

Лечение

Перелом

Лечение зависит от вида и тяжести перелома:

При трещинах и обычных переломах без смещения накладывают гипсовую лонгету. Срок ее ношения зависит от того, какая кость пострадала, в среднем – 2 – 4 недели.
При переломах со смещением может быть проведена закрытая репозиция: под местным или общим наркозом врач сопоставляет отломки и сразу накладывает гипсовую лонгету.
Иногда может быть проведено скелетное вытяжение: через отломок кости проводят спицу, к которой подвешивают груз.
При сложных переломах со смещением может быть проведена открытая репозиция и остеосинтез: врач делает разрез, сопоставляет отломки и скрепляет их при помощи различных металлических конструкций.

Иногда показано наложение аппарата Илизарова или аналогичных аппаратов: через прокол кожи и отломки костей проводят спицы, а затем на них собирают металлический аппарат, который обеспечивает правильную конфигурацию кости.
Другие виды остеосинтеза.

В многопрофильной клинике ЦЭЛТ работают опытные врачи-травматологи и установлено современное оборудование. Наши специалисты применяют наиболее прогрессивные технологии, чтобы обеспечить как можно более полноценное, эффективное и быстрое лечение различных повреждений костей. В нашем травматологическом отделении выполняются сложные хирургические вмешательства.

Услуги ортопедии и травматологии в ЦЭЛТ

Администрация АО «ЦЭЛТ» регулярно обновляет размещенный на сайте клиники прейскурант. Однако во избежание возможных недоразумений, просим вас уточнять стоимость услуг по телефону: +7 (495) 788 33 88

Источник

Перелом костей

Перелом – полное или частичное нарушение целостности кости с повреждением окружающих мягких тканей. Это частая патология, составляющая приблизительно 6-7% от всех закрытых травм. Наиболее распространены переломы костей стопы — 23,5% и костей предплечья — 11,5% случаев (по Крупко И. Л.) Открытые переломы в мирное время встречаются менее чем в 10% случаев от всех переломов.

Симптомы переломов

Абсолютные симптомы (достоверные признаки). Характерны только для переломов. Специально проверяются только врачом и после обезболивания! Зачастую эти признаки ощущает сам пострадавший.
- Патологическая подвижность – подвижность конечности, в норме не характерная для этой зоны.
- Костная крепитация – звук и ощущение по типу хруста снега, вызываемые трением костных отломков друг о друга.
- Видимые костные отломки (при открытом переломе).
Относительные симптомы (вероятные признаки). Встречаются не только при переломах, но и при других повреждениях (например, вывихах, повреждениях связок):
- боль;
- нарушение функции конечности;
- отёк мягких тканей;
- гематома;
- изменение формы конечности.

Перелом руки

Классификации переломов

По причине возникновения

1. Травматические – возникающие под действием травмирующего фактора. Структура кости и её механическая прочность, как правило, нормальная. Сила травмирующего фактора высокая.

2. Патологические – возникающие спонтанно или под действием крайне малой силы травмирующего фактора (чихание, смена положения тела, подъём нетяжёлого предмета).

Причина – в изменении структуры костной ткани и снижении механической прочности кости (остеопороз, метастазы злокачественных опухолей, костный туберкулёз).

По виду смещения костных отломков

Без смещения.
Со смещением:
- по длине;
- по ширине;
- по периферии;
- под углом;
- с расхождением отломков;
- сколоченные переломы.

По отношению к окружающим кожным покровам:

закрытые;
открытые.

По линии перелома:

поперечные;
косые;
винтообразные;
вколоченные;
отрывные.

Рентген

Диагностика

Диагностику и лечение осуществляет врач-травматолог, реже хирург. Основным диагностическим методом является рентгенография в двух проекциях – прямой и боковой. Для некоторых видов переломов применяют специальные проекции (например, подвздошную и запирательную при переломе вертлужной впадины). Более информативным (и дорогостоящим) методом является рентгеновская компьютерная томография (РКТ), позволяющая получить объёмное 3D-изображение повреждённого сегмента. Для дополнительной диагностики повреждения мягких тканей используют магнитно-резонансную томографию (МРТ), ультразвуковое исследование (УЗИ), реже – ангиографию, электронейромиографию.

Лечение переломов костей

Основные принципы лечения переломов – сохранение жизни пациента, устранение анатомических нарушений, препятствующих деятельности жизненно важных органов, восстановление анатомии и функции повреждённых конечностей.

Для лечения закрытых переломов применяют иммобилизацию – обездвиживание повреждённого сегмента при помощи гипсовых повязок, пластиковых лонгет или жёстких ортезов. При смещении костных отломков накладывают скелетное вытяжение (длительное сопоставление отломков при помощи системы грузов). Многие переломы требуют хирургического вмешательства. Его преимуществами являются качественное сопоставление и надёжная фиксация отломков, возможность ранней активизации пациента, сокращение времени пребывания в стационаре и сроков временной нетрудоспособности. К нему относятся остеосинтез – соединение костных отломков пластинами, штифтами, винтами, и эндопротезирование – полная или частичная замена сустава («золотой стандарт» при переломах шейки бедренной кости у пожилых).

Медикаментозное лечение направлено на снятие боли и предотвращение развития осложнений. Для обезболивания применяют наркотические препараты (только в стационаре — при тяжёлых травмах и угрозе развития травматического шока), нестероидные противовоспалительные (НПВС). Среди последних предпочтительнее препараты с преобладающей обезболивающей активностью – анальгин, кеторол, кетонал. Для профилактики тромбообразования (при переломах костей нижних конечностей, а также у лежачих больных) назначаются антикоагулянты (препятствующие свёртыванию крови) – инъекционные производные гепарина (гепарин, фраксипарин, эноксапарин) и современные таблетированные средства – прадакса, ксарелто, а также антиагреганты (улучшающие текучесть крови) – аспирин, клопидогрел, трентал. При открытых переломах обязательна профилактика инфекционных осложнений. Для этого используют антибиотики (чаще цефалоспорины – цефтриаксон, цефотаксим) и антибактериальные препараты (офлоксацин. пефлоксацин, метронидазол).

Переломы

Физиолечение применяется в остром периоде для снижения травматического отёка и болевого синдрома, а в фазе реабилитации – для улучшения кровообращения в зоне перелома и созревания костной мозоли.

В остром периоде наиболее эффективна магнитотерапия. Применять её можно даже через гипсовую повязку, которая не является преградой для магнитного поля. При снятии отёка наступает хороший обезболивающий эффект, уменьшается сдавление мягких тканей, снижается вероятность развития пузырей на коже, которые являются противопоказанием к хирургическому лечению.

Криотерапия является хорошим дополнением к магнитному полю, однако возможна к применению только на свободные от иммобилизующих повязок области. Местное снижение температуры снижает чувствительность болевых рецепторов, сужает кровеносные сосуды, уменьшая отёк.

В период реабилитации арсенал физиотерапевтических методов более разнообразен. Кроме описанных выше методов применяют ультразвуковую терапию (фонофорез) с гидрокортизоновой мазью для обезболивания и размягчения тканей после иммобилизации. Электромиостимуляция направлена на восстановление утраченного объёма мышц.

Лазеротерапия расширяет кровеносные сосуды над зоной перелома, способствуя созреванию костной мозоли. Ударно-волновая терапия уничтожает болевые точки и нежизнеспособные клетки, способствуя регенерации тканей, улучшает формирование костной мозоли.

Профилактика

Профилактикой переломов костей является ношение обуви на нескользкой подошве, соблюдение правил дорожного движения, регулярные занятия физической культурой для улучшения координации движений, внимательное отношение к своему здоровью. Отдельно следует упомянуть необходимость проведения денситометрии (исследования минеральной плотности костной ткани) у людей старше 50 лет, особенно у женщин.

Задать вопрос врачу

Остались вопросы по теме «Симптомы и лечение переломов костей»?
Задайте их врачу и получите бесплатную консультацию.

Источник