Точек перелома графика функции
График функции y = x3 с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.
Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).
Определения[править | править код]
Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак.
Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую[1].
Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция при при , которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).
Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю[4].
Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления[1].
Дифференцируемая функция имеет точку перегиба (x, f(x)) тогда и только тогда, когда её первая производная, f′, имеет изолированный экстремум в точке x (это не то же самое, что f имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки x имеется одна и только одна точка, в которой f′ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции f′ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике f, в которой касательная пересекает кривую[5][6].
Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего[1].
Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.
Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух[7].
Свойства[править | править код]
Точка перегиба однозначно характеризуется двумя свойствами:
Если кривая задана как график дифференцируемой функции , точка перегиба является точкой экстремума для .
Необходимое и достаточное условия[править | править код]
График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена синим цветом, где кривая выпукла (выше касательной), зелёным, где кривая вогнута (под касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π
Если x является точкой перегиба для f, то вторая производная, f″(x), равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления [8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.
Определение предполагает, что f имеет ненулевую производную более высокого порядка по x, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак f′(x) постоянен по обеим сторонам от x в окрестности точки x.
Достаточное условие точки перегиба:
1) Достаточным условием точки перегиба является:
Если f(x) k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x, где k нечётно и k ≥ 3, f(n)(x0)=0 для n = 2,…,k — 1 и f(k)(x0) ≠ 0, то x0 является точкой перегиба f(x).
2) Другое достаточное условие требует, чтобы и имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная[2].
Классификация точек перегиба[править | править код]
Точки перегиба можно классифицировать согласно производной f′(x).
- если f′(x) равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
- если f′(x) не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба
y = x4 — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).
Примером седловой точки является точка (0,0) графика y = x3. Касательной служит ось x и она разделяет график в этой точке.
Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции y = x3, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.
Функции с разрывами[править | править код]
Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию 2x2/(x2 — 1). Она выпукла при |x| > 1 и вогнута при |x| < 1. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку 1 и −1 не принадлежат области определения функции.
См. также[править | править код]
- Критическая точка
- Экологический порог[en]
- Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
- Стрельчатая S-образная арка[en], архитектурная форма с точками перегиба
- Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 3 4 Шикин, 1997, с. 39.
- ↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005, с. 231.
- ↑ Фихтенгольц, 2001, с. 305.
- ↑ Шикин, 1997, с. 27.
- ↑ Фихтенгольц, 2001, с. 294—305.
- ↑ Кудрявцев, 1981, с. 190—195.
- ↑ Point of inflection. encyclopediaofmath.org.
- ↑ Рашевский, 1950, с. 18—19.
Литература[править | править код]
- Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8, ББК 22.15.
- I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Handbook of Mathematics. — 5. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-72121-5.
- Л. Д. Кудрявцев. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. — Москва: «Высшая школа», 1981. — Т. 1. — С. 190—195.
- Г. М. Фихтенгольц. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — ISBN 5-9221-0156-0.
- П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. — Москва, Ленинград: Государственное издательство техническо-теоретической литературы, 1950.
- Weisstein, Eric W. Inflection Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Point of inflection, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Ссылки[править | править код]
- Inflection Points of Fourth Degree Polynomials
Источник
Методика построения графиков некоторых функций.
Бирагова Л.Л. МБОУ лицей г.Владикавказ
Материал, связанный с построением графиков элементарных функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины, представляет для использования при изучении различных курсов математики повышенного уровня, а также на факультативах и кружковых занятиях. И поэтому разработка методики его изучения достаточна актуальна. Я хочу рассмотреть одну из возможных последовательностей изучения данных вопросов на факультативных занятиях со школьниками, проявляющими интерес к математике.
Для полноты изложения остановимся и на самых простейших случаях, приведя в каждом из них последовательность действий, которую должны осуществить учащиеся для построения того или иного графика.
1.Построение графика функции .
Прежде всего, вспомним определение модуля:
Чтобы построить график функции надо сначала построить график функции , а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.
Пример1.
Построить график функции .
2.Построение графика функции .
Заметим, что так как , то функция чётная и для построения её графика следует удалить точки графика функции находящиеся слева от оси , а все точки, лежащие на оси и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси .
Пример 2.
Построить график функции .
3.Построение графика функции .
Последовательность действий учащегося в этом случае представим следующим образом:
1) построить график функции , для ;
2) отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси
ординат;
3) участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально
отразить относительно этой оси.
Пример 3.
Построить график функции .
1 –й способ:
Отметим, что данный график и ему подобные графики можно построить и другими способами.
2- й способ.
3-й способ.
Этот способ основан на свойстве чётности функции, что позволяет построить её график при , а затем зеркально отобразить его относительно оси .
Рассмотрим этапы построения графика.
4.Построение графика «функции» , при .
По определению абсолютной величины где . Строго говоря, у нельзя назвать функцией х, так как каждому значению аргумента х будет соответствовать два значения «функции»: и . Поэтому далее в аналогичных случаях будем брать слово «функция» в кавычки.
Рассмотрим последовательность действий учащегося, которому необходимо построить график функции такого типа:
1) установить, для каких х выполнено условие ;
2) на найденных промежутках значений х построить график функции
,
3)осуществить зеркальное отражение графика относительно оси .
Пример 4.
Построить график функции .
5.Построение графиков «функции» .
Очевидно, что . Значит график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс. Соответствующая последовательность действий учащегося:
1) построить график функции ,
2)осуществить его зеркальное отображение относительно оси .
Пример5.
Построить график «функции» .
Пример 6.
Построить график «функции» .
Для лучшего закрепления построения данного типа графиков последнее задание можно усложнить: построить график «функции» . Тогда к тому, что только что было изображено, необходимо добавить зеркальное отображение относительно оси .
6.Построение графиков функций вида:
Этот случай рассмотрим на частных примерах.
Пример 7.
Построить график функции .
Укажем последовательность действий учащегося:
1) Найти абсциссы точек «перелома» графика функции. В данном случае:
, ; , .
2) Рассмотрим далее функцию на каждом из полученных промежутков.
В рассмотренном примере их три: ; ; .
а) . Так как оба слагаемых неотрицательны, то на этом промежутке
графиком функции будет прямая, выражаемая уравнением .
б) . Первое слагаемое на данном промежутке неотрицательно, второе отрицательно и поэтому графиком будет прямая .
в
) . Оба слагаемых отрицательны и поэтому графиком будет прямая .
Аналогично можно построить и график функции .
1) Найдём абсциссы точек «перелома» графика функции:
; ; ; ; .
2) Рассмотрим функцию на каждом из полученных промежутков. Их шесть:
; ; ; ; .
Рассуждения те же, что и в примере 7.
7.Построение графиков функции вида .
Пример 8.
Построить график функции .
Построить график этой функции можно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае, т.е. найти точки «перелома» функции, а затем провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками «перелома». Однако целесообразнее в данном случае использовать способ, связанный с геометрическим преобразованием графиков функции.
Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к предмету, для будущих участников математических олимпиад представит интерес следующий тип задач.
8. Построение графиков функций аналитические выражения, которыесодержат знак модуля, выраженных неявно.
Пример 9.
Построить график «функции» .
По определению абсолютной величины . График этой «функции» можно построить различными способами. Воспользуемся одним из них:
а далее придерживаемся последовательности действий, приведенной в пункте 4.
Существует и другой способ построения графика. Воспользуемся тем, что график данной «функции» симметричен как относительно оси , так и относительно оси , построим его лишь для первой координатной четверти, а затем посредством двух зеркальных отражений получим окончательный график.
Пример 10.
Построить график «функции» .
Поступая аналогично предыдущему случаю, получаем:
.
Так как график «функции» симметричен относительно двух осей, построим его сначала для первой координатной четверти, т.е. при , , при этом уравнение « функции» примет вид:
, .
Мы видим, что второму уравнению удовлетворяет лишь одна пара значений , . (сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если оба они равны нулю).
Остаётся рассмотреть первое уравнение:
а) при и тогда ; . б) при , и тогда ; .
Строим графики полученных прямых в первой четверти.
9. Построение графиков тригонометрических функций,
содержащих знак модуля.
Пример 11.
Построить график функции .
Учитывая, что ; запишем данную функцию так:
.
Раскроем модуль:
а) если и , то функция принимает вид
б) если и, то ; у = 0.
в) если и , то ; у = 0.
г) если и , то ;
В дальнейшей работе отправной точкой послужат графики функций и , построенные в одной прямоугольной системе координат.
Графики этих функций строятся тонкими, чуть заметными линиями, поскольку они играют лишь вспомогательную роль.
а) из рисунка видно, на каких промежутках оси абсцисс функции ,
одновременно принимают неотрицательные значения. Их
графики расположены в верхней полуплоскости. Строим на этих
фиксированных промежутках график функции основной
« жирной» линией;
б) на рисунке легко просматриваются на оси промежутки, где
одновременно и . На этих промежутках графики функций
расположены соответственно в верхней и нижней полуплоскости
системы координат. Исходная функция в этом случае имеет вид у=0. Строим на этих промежутках её график.
В пунктах в) и г) рассуждения аналогичные предыдущим. В результате вырисовывается график данной функции.
Пример 12.
Построить график функции .
Функция чётная, так как , поэтому график можно строить правой (левой) полуплоскости, а затем выполнить симметрию относительно оси .
Пусть , тогда функция принимает вид . В точках , где функция теряет смысл.
Раскроем модуль: а) если , то или ;
б) если , то .
Изобразим на указанном промежутке тонкой линией графики функции и .
Фиксируем на оси абсцисс отрезки, на которых (косинусоида расположена в верхней полуплоскости). На этих фиксируемых промежутках выделяем основной линией «куски» синусоиды.
Выделяем промежутки оси , на которых (косинусоида расположена в нижней полуплоскости). И на этих промежутках изображаем график функции .
При всём этом не забываем о том, что в точках функция теряет смысл. Теперь строим график функции во всей области определения, выполняя симметрию относительно оси .
Источник
Предчувствие вам подсказывает, что самые красивые (и, конечно же, сложные) фигуры графического анализа мы оставили напоследок? В общем-то, это верно. Но для того, чтоб понять всю красоту этих фигур, вам придется припомнить все, чему вы научились из предыдущих разделов этой главы.
Посмотрите на график цен с выраженным восходящим трендом на рис. 2.6.1, и обратите внимание на область, выделенную прямоугольником.
День перелома (key reversal day) на вершине графика представляется столбиком — новым явно выраженным максимумом. Закрытие этого столбика лежит ниже предыдущей цены закрытия, а часто — даже ниже минимума предыдущего дня. То есть столбик дня перелома полностью перекрывает столбик предыдущего дня — это его характерная особенность.
День перелома говорит аналитику вот что: восходящая тенденция набрала хороший разгон, а в последнее время даже ускорилась. Цены растут, а спрос — все тот же.
То есть, возможно, тенденция уже истощилась, и наметившееся обратное движение — это начало нового тренда, нисходящего. А если при этом еще и объем торговли в день перелома значительно увеличился, это служит только подтверждением такой динамики.
День перелома на убывающем тренде представляет собой аналогичную картину, разве что с противоположными направлениями движений. Рынок после энергичного движения вниз резко разворачивается наверх без формирования уровня поддержки, на протяжении одного столбика. Этот столбик дает выраженный минимум, но закрывается выше закрытия предыдущего дня, а объем торгов в этот день заметно возрастает.
Отметим, что все эти рассуждения относятся к графикам разных временных масштабов, а не только дневным. Хотя частота появления дней перелома и их значимость сильно меняются при переходе между временными масштабами. Здесь для удобства мы будем использовать дневные графики.
Близкой по смыслу к дню перелома является составленная из нескольких столбиков конфигурация, называемая У-формация (V-spike) (рис. 2.6.2). Эта конфигурация часто наблюдается у рынка, уже движущегося в определенном направлении и прошедшего основные уровни консолидации (поддержки или сопротивления), то есть оказавшегося без ближайших ориентиров. В этой ситуации возможны энергичные движения графика (типичным является сочетание V-spike с разрывами), но немедленно механизм саморегуляции рынка возвращает его в более реальное состояние.
Столбики с характерной экстремальной конфигурацией весьма часто встречаются на графиках, но далеко не каждый из них является днем перелома. «Повышение» такого столбика в ранге до дня перелома происходит достаточно долго, пока не определится обратное движение рынка.
Поэтому, с одной стороны, V-spike дает сигнал для принятия решения, но с другой стороны, этот сигнал очень трудно вовремя распознать. Чтобы в полной мере насладиться возможностями, которые дает V-spike, трейдеру необходима дополнительная информация (например, данные фундаментального анализа — покупайте и читайте следующую книгу Академии биржевой торговли!).
Третий тип конфигураций, аналогичный по смыслу дню перелома и V-spike, называется «двухдневный перелом». Например, на восходящем тренде цены резко растут в течение дня и остаются на максимальном уровне. Следующий же день, начинаясь на этом уровне, закрывается ниже (или на уровне) минимальной цены предыдущего дня. То есть перелом как бы «растягивается» на 2 дня.
Как и в случае одного дня перелома, двухдневный перелом не дает полной уверенности в переломе тренда. Но если другие данные тоже подтверждают эту тенденцию, то аналитик получает сигнал о возможном изменении тенденции рынка. Общим правилом является то, что сила этого сигнала тем больше, чем шире перекрываемый в день перелома диапазон цен, и чем больше возрастает при этом объем торговли.
Сочетание дней перелома с разрывами дает еще один интересный тип конфигураций разворота тренда — островные переломы (island reversals). На графике (рис. 2.6.4) островной перелом в основании образован разрывом прорыва в нисходящем направлении после чего состоялось формирование конфигурации типа inverse H&S (перевернутая «Голова и плечи»), которое завершилось в правом плече также разрывом прорыва.
Итак, можно облегченно вздохнуть — мы закончили рассматривать основные структуры графического анализа. Вы уже знаете, как они выглядят и каким событиям на валютном рынке соответствуют.
Но, чтобы из этих структур получить еще больше полезной информации, нужно изучать их не сами по себе, а вместе с другими показателями. Сам по себе ни день перелома, ни отдельный разрыв на графике не дает достаточно уверенно распознаваемого сигнала. Но они могут быть очень полезны аналитику в совокупности с другими особенностями графика. Как именно? Скоро узнаете: этому как раз и посвящен следующий раздел.
Еще по теме 2.6. Точки перелома графика и V-формации:
- РАЗВОРОТНЫЕ ФОРМАЦИИ
- 12. Графики ближайших фьючерсных контрактов и непрерывных фьючерсов: соединение исторических данных по отдельным фьючерсным контрактам для построения долгосрочных графиков
- ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ точки
- График безубыточности.
- ГРАФИКИ ЗАКРЫТИЙ
- ШТРИХОВЫЕ ГРАФИКИ
- 8.3. Метод критической точки
- График IS
- 74. ТИПЫ ГРАФИКОВ И ПРАВИЛА ИХ ПОСТРОЕНИЯ
- 74. ТИПЫ ГРАФИКОВ И ПРАВИЛА ИХ ПОСТРОЕНИЯ
- 74. ТИПЫ ГРАФИКОВ И ПРАВИЛА ИХ ПОСТРОЕНИЯ
Источник