Перелом кривой производственных возможностей
Кривая производственных возможностей
Крива́я произво́дственных возмо́жностей (англ. production possibilities curve) — это кривая, показывающая различные комбинации максимальных объёмов производства нескольких благ (товаров или услуг), которые могут быть созданы в условиях полной занятости при использовании всех имеющихся в экономике ресурсов.
Различные комбинации выпуска отражают разные варианты использования ограниченных ресурсов. Например, труд может быть использован при производстве разных благ. Использование единицы труда в производстве одного блага приводит к невозможности его использования в производстве любого другого блага. Поэтому увеличение выпуска в одном секторе экономики ведет к альтернативным издержкам в виде снижения выпуска в другом секторе.
В разных секторах экономики ресурсы могут использоваться с разной эффективностью, поэтому кривая производственных возможностей отражает сложную нелинейную зависимость между различными комбинациями выпуска. Интенсивность использования ресурса зависит от наличия других факторов производства. Например, производительность труда зависит от наличия капитала, а также от уровня технологий. На выпуск также оказывает влияние закон убывающей предельной отдачи: при увеличении какого-либо ресурса и неизменном количестве других ресурсов предельная отдача будет снижаться.
Кривая производственных возможностей является частью задачи оптимального распределения ресурсов.
Определение[править | править код]
Согласно К.Р. Макконнеллу и С.Л. Брю Кривая производственных возможностей — кривая, демонстрирующая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объёма производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией[1].
Формальное определение[править | править код]
Формальное определение отражает математическую взаимосвязь между различными комбинациями товаров и услуг. Эта зависимость может быть задана уравнением на плоскости:
Вывод[править | править код]
Предположения[править | править код]
Построение кривой производственных возможностей опирается на ряд предположений[1]:
- Экономика эффективна, то есть в экономике достигается полная занятость и полный объём производства.
- Количество и качество ресурсов в экономике постоянно в течение некоторого периода времени.
- Уровень технологий является постоянным.
- Экономика является двухсекторной.
Графический вывод[править | править код]
На графике кривая производственных возможностей обычно представляется выпуклой вверх гладкой линией, полностью лежащей в первой четверти координатной плоскости. На осях отложены количества выпускаемых благ. Точки пересечения с осями соответствуют ситуациям, когда все ресурсы сосредоточены в производстве одного из благ. Выпуклость вверх означает, что ради увеличения производства одного блага на единицу нужно жертвовать все большим количеством второго блага. Тем самым кривая отражает закон убывающей предельной отдачи.
Точки А, Б, В, Г, Д лежат на кривой и отражают различные комбинации выпуска при полном использовании ресурсов. Точка E внутри графика с соответствует неполному (нерациональному) использованию имеющихся ресурсов. Точка Ж над графиком недостижима при заданном количестве ресурсов и имеющемся уровне технологий. Попасть в эту точку можно, если увеличить количество используемых ресурсов или усовершенствовать технологии производства, повысив производительность труда. Например, можно заменить ручной труд на машинный.
Формальный вывод[править | править код]
Кривую производственных возможностей для двухсекторной экономики можно получить формально из следующих предположений.
- Производство каждого товара описывается неоклассической производственной функцией: .
- Количество капитала в каждом секторе задано :.
- Уровень технологий не меняется: .
- Количество труда в целом в экономике задано:
Тогда построение кривой сводится к поиску значений выпуска при различных вариантах использования трудовых ресурсов в экономике. Переток рабочей силы из одного сектора экономики в другой приводит к росту выпуска в первом секторе и падению во втором. Так как предельная отдача труда является убывающей функцией, то изменение выпуска в разных секторах не являются одинаковыми. В первом секторе предельная отдача падает, а во втором растет. Это приводит к тому, что кривая имеет выпуклую (вверх) форму.
Пример формального вывода[править | править код]
Предположим, что количество капитала и уровень технологий в обоих секторах одинаков. Выпуск описывается производственной функций Кобба-Дугласа с одинаковыми параметрами . Количество труда задано . Тогда кривая производственных возможностей описывается уравнением:
Аналогичным образом можно получить границу производственных возможностей для произвольных значений параметров (общей факторной производительности, капитала, параметра производственной функции и т.д.), а также для произвольного количества благ. Для произвольного количества благ граница производственных возможностей будет являться поверхностью (гиперповерхностью) в n-мерном пространстве.
Свойства[править | править код]
Кривая производственных возможностей, или граница производственных возможностей (англ. production possibility frontier (PPF)), или кривая трансформации продукции, представляет собой график сравнения темпов производства двух товаров, на которые используется некоторое ограниченное значение факторов производства. Кривая PPF показывает возможный перечисленный уровень производства одного товара, в результате дающий уровень производства другого. Таким образом можно определить эффективность производства так, чтобы производство одного товара давало максимальный уровень производства другого товара. Период времени обусловлен также и технологиями производства. Товар может быть сопоставлен с благом или услугой.
Кривая производственных возможностей показывает все достижимые комбинации производства продукции, а лежащие вне кривой производственных возможностей, недостижимы из-за редкости ресурсов.
При движении по кривой возможен только один, лучший вариант движения, который дает максимальный результат при минимальных затратах. Кривая производственных возможностей показывает совокупность всех точек или решений, в пределах которых следует выбирать оптимальный вариант. Все остальные точки представляют собой упущенные возможности или альтернативные затраты[1].
Количество других товаров, от которых необходимо отказаться, чтобы получить некоторое количество данного товара, называется альтернативными издержками. Кривая — убывающая, что подразумевает существование альтернативных издержек. Форма кривой производственных возможностей показывает цену одного товара, выраженную в альтернативном количестве другого. Цена КПВ в рыночной экономике — это отражение альтернативной стоимости альтернативных издержек или издержек упущенных возможностей. Она может выражаться в товарах, в деньгах или во времени[1].
Кривая, как правило, изображается как выпуклая вверх («выгнутая») от начала координат, но также может быть представлена как выпуклая вниз или линейная (прямая), в зависимости от ряда факторов. Вогнутость показывает увеличение альтернативных издержек[1].
Практическое применение[править | править код]
Кривая производственных возможностей показывает:
- Тенденции роста альтернативных издержек производства в условиях увеличения производства одного из товаров.
- Уровень эффективности производства.
КПВ может отражать различия в производственных возможностях разных стран.
Кривая может быть использована для представления ряда экономических понятий, таких как нехватка ресурсов, альтернативные издержки, эффективность производства, эффективность распределения ресурсов, а также экономии за счёт масштабов. Кроме того, внешнее смещение кривой — результат роста доступности ресурсов, таких как физический капитал, рабочая сила и технический прогресс наших знаний. С другой стороны, кривая будет смещаться внутрь, если сокращается рабочая сила, запасы исходного сырья исчерпываются или стихийное бедствие уменьшит запас физического капитала. Комбинация представляет собой точку на кривой, где экономика работ показывает приоритеты или выбор экономики, как выбор между производством большего числа товаров производственного назначения и меньшего товаров народного потребления, или наоборот.
Согласно К.Р. Макконнеллу и С.Л. Брю возможными областями практического применения кривой производственных возможностей являются[1]:
- использование в качестве микроэкономического инструмента в части бюджетного ограничения, набора альтернативных возможностей;
- в части анализа производственных возможностей в критические периоды, например перед вступлением в войну и во время войны, когда необходимо увеличить производство при уже достигнутой полной занятости;
- при анализе различных дискриминаций, когда их устранение придаёт существенный прирост экономики;
- в части инструмента при выборе взаимоисключающих альтернатив, например сохранения окружающей среды и увеличения вредного производства;
- в части инструментария при анализе увеличения производительности труда, когда необходимо выбрать текущий уровень инвестиций за счет снижения текущего уровня потребления;
- использование во внешнеторговом анализе, когда страна за счёт внешней торговли имеет возможность достичь уровень выше своей границы производственной возможности и создания торгового дефицита;
- использование в качестве инструментария в экологической экономике, анализ последствий смещения кривой производственных возможностей влево;
- при анализе наложения торгового эмбарго на страну, и анализ последствий смещения кривой производственных возможностей влево.
Эффективность[править | править код]
An example PPF with illustrative points marked
Кривая показывает все возможные комбинации нескольких товаров, которые могут быть произведены одновременно в течение определённого периода времени, при прочих равных условиях. Как правило, она принимает форму кривой, показанной на рисунке справа. Для экономики, при увеличении количества одного произведённого товара, производство другого товара должно быть уменьшено. Так, производство сливочного масла должно быть сокращено для того, чтобы производить больше оружия. Кривые показывают, какова зависимость между уменьшением объёмов последнего производства и увеличением первого, и наоборот.
Примечания[править | править код]
Источник
Как известно, главной проблемой экономики является удовлетворение (а точнее его невозможность) безграничных человеческих потребностей в условиях ограниченности располагаемых ресурсов. Ограниченное количество имеющихся у нас ресурсов позволяет произвести конечное количество благ и услуг.
Определение 1
Кривая производственных возможностей, о которой пойдет речь в данной теме, показывает все возможные комбинации производства различных благ при условии полного и эффективного использования имеющихся ограниченных ресурсов.
Предпосылки построения КПВ:
- В экономике производятся только два вида товаров/услуг;
- В экономике должна применятся самая эффективная технология из всех существующих на данный момент.
Обратимся к графику некоторой КПВ:
Область, ограниченная графиком КПВ, показывает все доступные нам точки при данном запасе ресурсов и данной технологии.
Рассмотрим $3$ точки:
Точка $A$ лежит под графиком КПВ. Данная точка является неэффективной по Парето (был такой итальянский учёный), потому что можно увеличить объём производства одного блага, не уменьшая количество другого.
Точка $B$ является эффективной по Парето, ибо нельзя увеличить объём производства одного блага, не уменьшая объём производства другого блага.
Точка $C$ является недостижимой при имеющемся количестве ресурсов и данной технологии.
В неэффективную точку можно попасть, если ресурсы используются неэффективно
Функция КПВ
КПВ — невозрастающая функция.
В большинстве случаев КПВ является убывающей функцией. Возьмем произвольную точку $A$, лежащую на графике функции КПВ. В данной точке уже задействованы в производстве товаров $x$ и $y$ все имеющиеся ресурсы. Чтобы увеличить производство товара $x$ ($x_1 to x_2$), нам придётся уменьшить количество производимого товара $y$ ($y_1 to y_2$) (уменьшая объём производства товара $y$, мы освобождаем некоторое количество ресурсов, которые теперь пойдут на производство дополнительных единиц товара $x$). Таким образом, мы имеет положительный прирост аргумента $(x_2-x_1 > 0)$ и отрицательный прирост значения функции $(y_2-y_1<0)$. Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно, данная функция является убывающей.
Альтернативная стоимость и КПВ
Определение 2
Альтернативная стоимость показывает от какого количества единиц другого блага (например, блага $y$) нужно отказаться для производства одной дополнительной единицы первого блага (например, блага $x$)
Геометрический смысл альтернативной стоимости
Наиболее часто встречающимися графиками КПВ являются линейная и вогнутая функции.
Разберем геометрический смысл $AC$ на примере вогнутой функции:
Если мы работаем с дискретными величинами, прирост $x$ и прирост $y$ являются целыми числами, альтернативная стоимость дополнительной единицы $x$ равна $dfrac{Delta y}{Delta x}=tgalpha$, то есть тангенсу угла наклона секущей. (Деля $Delta y$ на $Delta x$ мы ищем сколько единиц товара $y$ приходится на дополнительную единицу товара $x$).
Но во многих экономических задачах товары считаются бесконечно делимыми. В таком случае нам нужно посчитать то количество товара $y$ от которого нам пришлось отказаться, чтобы произвести дополнительное бесконечно малое количество товара $x$. В данной ситуации альтернативная стоимость товара $x$ в некоторой точке $A$ (АС приращения $x_A$ на бесконечно малую величину) — это угол наклона касательной в этой точке, то есть производная функции КПВ.
Подробнее о производных и секущих вы можете узнать здесь.
Закон, актуальный для вогнутых функций:
При увеличении объёмов производства товара его альтернативная стоимость растет ($Delta y_2>Delta y_1$). Товар может обладать возрастающей альтернативной стоимостью, ибо при увеличении количества одного товара для его производства используются всё менее и менее приспособленные ресурсы. Вогнутость КПВ обусловлена невзаимозаменяемостью ресурсов.
Линейная функция обладает постоянной альтернативной стоимостью на всём своём протяжении. Её альтернативная стоимость вычисляется также как и у вогнутой функции (только работаем мы теперь не с касательной и секущей, а с графиком самой функции). Товар может обладать постоянной альтернативной стоимостью, если ресурсы, необходимые для его производства являются более или менее взаимозаменяемыми.
$AC_x=tgalpha$
$AC_y=tgbeta$
Также нельзя забывать про существование выпуклых функций КПВ. Подобные КПВ обладают убывающей альтернативной стоимостью из-за возрастающей отдачи от масштаба: если мы задействуем в производстве товара много ресурсов, то получается производить его с меньшими издержками. $AC$ данных функций измеряется также, как и любых других, и равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точку касания при бесконечно делимом $x$ ($AC_x=tgbeta$) или тангенсу угла наклона секущей ($AC_x=tgalpha$) при работе с дискретными величинами.
Ещё существуют КПВ с разной выпуклостью на разных участках.
Источник
Задача 1
Бухгалтеру нужно покрасить свой дом. Для этого он может нанять начинающего маляра, который покрасит дом за 30 рабочих часов и просит за работу 1200 р.
Жена предлагает нашему бухгалтеру покрасить дом самому. Мотивирует она это тем, что бухгалтер в молодости был неплохим маляром. Он затратит на покраску 20 ч. И сэкономит семье деньги.
Бухгалтер завален работой и обычно зарабатывает 100 р. в час. Поэтому он отказывается сам красить дом, ссылаясь на экономическую целесообразность.
Кто прав и почему? Какова цена правильного выбора?
Решение:
Прав бухгалтер. Он сэкономит семье деньги, если будет заниматься своей работой, которая за 20 часов принесёт ему:
20 × 100 = 2000 р.
и наймёт маляра с оплатой 1 200 р.
Цена его выбора, то есть экономия при этом составит:
2 000 – 1 200 = 800 р.
Задача 2
Иванов хочет отремонтировать квартиру. Он может нанять мастеров и заплатить им 15 тыс. р., а может все сделать сам, тогда ремонт будет стоить ему только 5 тыс. р. (цена материалов). Но придется взять отпуск без сохранения заработка. В день он зарабатывает 500 р. Какое максимальное число дней может потратить на ремонт Иванов, чтобы не нести убытки.
Решение:
Пусть x – число дней, потраченных на ремонт.
Если Иванов будет делать ремонт сам, то недополученный заработок составит:
500 × х
И ремонт обойдётся ему в сумму стоимости материалов и недополученного заработка:
500 × х + 5 000.
Чтобы не понести убытки, эта величина должна быть не больше альтернативной стоимости ремонта Иванова — 15 000 р., то есть не больше затрат на оплату труда наёмных мастеров.
Составим и решим неравенство:
500 × х + 5 000 ≤ 15 000
500 × х ≤ 10 000
х ≤ 20.
Итак, Иванов может потратить на ремонт максимум 20 дней.
Задача 3
Петров хочет купить мебельный гарнитур. Он должен затратить на поиски дешевого и качественного варианта 7 рабочих дней, для чего намерен взять отпуск без сохранения заработка. Если он не сделает этого, то купит гарнитур на 20% дороже. В день Петров зарабатывает 1000 руб.
Какова должна быть цена гарнитура для того, чтобы рационально мыслящему Петрову было все равно – искать дешевый вариант или нет?
Решение:
Пусть х – цена гарнитура в рублях.
0,2 * х – величина переплаты, в случае если Петров не возьмёт отпуск.
Если Петров возьмёт отпуск, то потери дохода составят:
7 * 1000 = 7000 р.
Рационально мыслящему Петрову будет все равно – искать дешевый вариант или нет, если величина переплаты будет равна величине потерь дохода.
Составим и решим уравнение:
0,2 * х = 7000
х = 35 000.
Цена гарнитура должна быть равна 35 000 рублей.
Задача 4
Самолетом из Москвы во Владивосток можно добраться за 8 ч, но с учетом сопутствующих затрат времени можно считать, что сутки для работы или отдыха теряются. Поездка в поезде займет 9 дней. Авиабилет стоит 900 р., а железнодорожный билет 500 р.
а) Какой способ передвижения дешевле для человека, зарабатывающего 50 р. каждый рабочий день с понедельника по пятницу.
б) Если 4 из 9 дней пути на поезде приходятся на выходные, то сколько должен зарабатывать в будний день наш путешественник, чтобы ему было все равно с чисто экономической позиции — лететь в выходной день или ехать поездом?
Решение:
а) Для решения данной задачи и подобных задач удобно пользоваться таблицей, в которой сравниваются альтернативные затраты двух способов путешествия.
| Статьи затрат | Самолёт | Поезд |
|---|---|---|
| 1. Недополученный заработок | 50 | 350 |
| 2. Затраты на билет | 900 | 500 |
| ИТОГО | 950 | 850 |
В расчёт недополученного заработка при поездке на поезде берём максимальное из 9 число будних дней, которое может истратить на поездку наш путешественник. Их будет 7. Значит, наибольшие потери дохода за 7 дней составят:
7 × 50 = 350 р.
Следовательно, дешевле ехать поездом.
б) Человеку будет безразлично с чисто экономической позиции — лететь в выходной день или ехать поездом, если альтернативная стоимость полёта на самолёте будет равна альтернативной стоимости поездки на поезде.
Значит, ему должно быть всё равно либо вылететь в субботу, либо выехать в этот день поездом.
Пусть W – дневной заработок в рублях в будний день.
В случае полёта на самолёте он затратит 900 р. Потерь дохода в субботу нет.
При путешествии на поезде затраты составят:
5 * W + 500.
Составим и решим уравнение:
5 * W + 500 = 900
W = 80.
Дневной заработок должен быть равен 80 р., тогда человеку безразлично с экономической точки зрения лететь на самолёте или ехать поездом.
Задача 5
Дедушка, отец и сын организовали семейный бизнес по изготовлению столов и стульев. За год отец может изготовить 50 столов или 100 стульев, дедушка — 40 столов или 100 стульев, сын 100 столов или 150 стульев. Постройте кривую производственных возможностей семьи.
Решение:
Найдём оптимальную структуру производства столов и стульев. Выпуск стульев должен быть поручен тому члену семьи, чьи альтернативные издержки (альтернативная стоимость) выраженные в количестве столов минимальные.
Рассчитаем альтернативную стоимость производства одного стула для каждого члена семьи.
Для дедушки альтернативная стоимость производства одного стула:
40 / 100 = 0,4 стола ← альтернативные издержки минимальные!!!
Для отца альтернативная стоимость производства одного стула:
50 / 100 = 0,5 стола
Для сына альтернативная стоимость производства одного стула:
100 / 150 = 2/3 стола
Если все члены семьи будут производить только столы, они изготовят 190 столов и 0 стульев.
Допустим, они пожелают начать производство стульев. Значит дедушка, у которого альтернативная стоимость производства стульев минимальная, должен производить стулья в количестве 100 штук. Тогда производством столов будут заниматься отец и сын. Они произведут 50 + 100 = 150 штук столов. Координаты точки перелома кривой производственных возможностей: (100 стульев, 150 столов).
Если спрос по стульям не будет удовлетворён, то к их производству подключится отец. Он следующий по возрастанию значения альтернативной стоимости стульев. Вместе с дедушкой отец произведёт 200 штук стульев.
Тогда сын будет один производить столы. И произведёт их в количестве 100 штук.
Координаты ещё одной точки перелома КПВ: (200 стульев, 100 столов).
И наконец, если все участники производства будут изготавливать только стулья, будет произведено 350 стульев и 0 столов.
Изобразим КПВ на графике:
Задача 6
Фирма имеет кривую спроса:
Зная, что P=100, определить изменение дохода при увеличении проданной продукции на одну единицу.
Решение:
Прирост дохода при увеличении проданной продукции на одну единицу называют предельной выручкой (MR — marginal revenue).
Предельная выручка может быть представлена как частная производная общей выручки по количеству товара.
Кроме того цена и объём связаны между собой функциональной зависимостью: Р = f(Q).
Легко заметить, что второе слагаемое в скобках есть обратное значение эластичности спроса:
Определим эластичность спроса по цене:
При P=100
Тогда:
Таким образом, увеличение количества проданной продукции на единицу, уменьшит доход фирмы на 200 единиц.
Задача 7
Для стимулирования сбыта своей продукции фирма «IBS» объявила о временном снижении цен на одну из моделей компьютера с 1000 до 800 долл. В результате за следующий месяц фирма продала в два раза больше компьютеров, чем обычно.
а) Как изменилась выручка фирмы?
б) Рассчитайте коэффициент точечной эластичности (по формуле, используемой в определении) и сделайте вывод о характере спроса на данную модель компьютера.
Решение:
а) Выручка фирмы рассчитывается по формуле:
Соответственно изменение выручки фирмы в процентном выражении рассчитаем по формуле:
Таким образом, выручка фирмы увеличилась на 60 %.
б) Коэффициент точечной эластичности рассчитаем по формуле, используемой в определении:
Коэффициент эластичности по абсолютной величине больше 1, следовательно спрос эластичен.
Задача 8
Функция задана уравнением
а) Выведите формулу эластичности этого спроса.
б) При какой цене эластичность спроса по цене составит – 0,5?
в) При какой цене в интервале цен от 200 до 300 эластичность будет максимальной по абсолютной величине?
Решение:
а) Так как в условии задачи нам дана непрерывная функция, для вывода формулы эластичности этого спроса воспользуемся коэффициентом точечной эластичности.
В точке (P0,Q0) точечная эластичность вычисляется как
Где
– производная функции спроса в этой точке.
б)
Отсюда:
Р = 133,33
в) Чем больше P, тем больше эластичность по абсолютной величине. Поэтому на интервале цен от 200 до 300 она достигает максимума в точке Р=300.
Задача 9
Определить точечную эластичность спроса, если при снижении цены на 10 %
выручка увеличилась на 8 %.
Решение:
Пусть P– первоначальная цена до её снижения, а Q– величина спроса до снижения цены.
Тогда выручка будет равна:
PQ.
Из условия задачи известно, что цена снизилась на 10%, запишем это как:
ΔP / P = -0,1
А выручка увеличилась на 8%, то есть стала равна:
1,08PQ
По-другому выручку после изменения можно записать как:
0,9P(Q + ΔQ)
Приравняв два последних выражения, получим уравнение:
Разделим обе части уравнения на PQ
Рассчитаем точечную эластичность спроса по формуле
Так как коэффициент точечной эластичности по абсолютной величине больше единицы, следовательно спрос эластичен.
Задача 10
Определить точечную эластичность спроса на товар, если уменьшение цены на 5 % привело к снижению выручки на 2 %.
Решение:
Пусть P– первоначальная цена до её уменьшения,
а Q– величина спроса до уменьшения цены.
Тогда выручка будет равна PQ.
Из условия задачи известно, что цена снизилась на 5%, запишем это как:
ΔP / P = -0,05
А выручка снизилась на 2%, то есть стала равна:
0,98PQ
По-другому выручку после изменения можно записать как:
0,95P(Q+ΔQ)
Приравняв два последних выражения, получим уравнение:
Разделим обе части уравнения на PQ
Рассчитаем точечную эластичность спроса по формуле:
Так как коэффициент точечной эластичности спроса по абсолютной величине меньше единицы, следовательно, спрос неэластичен.
Источник