Перелом эпюры
ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (продолжение)
В продолжение темы и лучшего усвоения материала предложим Вам следующие примеры.
Балка, опертая по концам (рис.2), но сила внешнего воздействия сместилась к одному из концов балки. Из пройденного материала известно, что при простом изгибе балки, опертой по концам, при изгибе ее под воздействием сосредоточенной силы, эпюры максимальных сжимающих и растягивающих напряжений симметричны (ось симметрии проходит через точки опирания балки, то есть через балку до ее деформации) (рис.1).
Рис.1. Опертая по концам балка, симметричное нагружение
Поэтому, чтобы не загружать схему, рассмотрим только эпюру растягивающих напряжений. Строим эпюру максимальных растягивающих напряжений, реализующихся по длине балки: проецируем «главные действующие лица» (точки опоры и место приложения силы) на горизонтальную ось, от точки проекции силы откладываем ее значение (длину) по вертикали и соединяем полученные три точки…(рис.2).
Рис. 2. Построение эпюры максимальных растягивающих напряжений (балка, опертая по концам, несимметричное нагружение)
Непонятно? Предлагаю использовать способ построения эпюры при помощи резинки… Крепим резинку к двум точкам опоры и давим на нее пальцем (рис.3). Получаем эпюру максимального растягивающего напряжения по длиннику балки (самое интересное, что данный способ математически верен)!
Рис.3
До этого мы рассматривали, как выглядят максимальные эпюры сжатия и растяжения вдоль оси рассматриваемой балки. Как выглядят эпюры сжатия и растяжения в перпендикулярном сечении, то есть, как выглядит топография напряжений сжатия и растяжения в поперечнике балки (сверху вниз)?
Увеличим балку до цилиндра, переведя ее из схемы в «реальный» объект (рис. 4, б). По нижнему краю цилиндра при изгибе формируются растягивающие напряжения (схема на рис. 4, а), по верхнему краю (из пройденного материала) — сжимающие напряжения. Чтобы сформировалось сжатие, напряжения должны быть направлены к середине балки, а что бы сформировалось растяжение – напряжения должны быть направлены за пределы балки.
Рис.4. Балка, опертая по концам, несимметричное нагружение
Почему вектора напряжений (стрелки красного и синего цвета) на рисунке «4 в» только с одного конца цилиндра — спросите Вы? Все верно, с другого конца цилиндра можно расположить аналогичные стрелки красного и синего цвета, симметрично (относительно вертикальной оси) направив красные кнутри, а синие (растягивающие) кнаружи (см. рис.4 б). Однако, вспомнив ранее изложенный материал на простое растяжение и сжатие, вы легко поймете, что достаточно одной пары групп стрелок. В зоне направления красных стрелок (векторов) на всем протяжении будет реализовываться сжатие, а в зоне синих – растяжение.
Внимательный читатель давно обратил внимание, что вектора напряжений, как сжимающих, так и растягивающих, имеют наибольшую величину по верхнему и нижнему (соответственно) краям цилиндра, а ближе к центру происходит их уменьшение. Нулевая точка соответствует оси симметрии балки. Действительно, при деформациях внутренние слои испытывают минимальные напряжения и деформации.
Этой особенностью концентрации напряжений активно и умело пользуется природа, обеспечивая минимальный вес конструкции при максимальной прочности. Зачем делать из прочного материала внутренние слои какой-либо конструкции, если эти слои не подвергаются, а значит и не противостоят внешнему воздействию и деформации? Конечно, там лучше убрать материал вовсе! В результате в биологии мы получаем, например диафиз трубчатой кости, а в строительстве швеллер, двутавр и т.д.
Высота треугольника эпюры зависит от величины приложенной силы, в нашем случае, достаточно абстрактной. Тем не менее, если силу мы уменьшим в два раза, настолько же уменьшится и высота треугольника эпюры (рис.5).
Рис.5. Балка, опертая по концам, несимметричное нагружение
А что происходит в реальности? Правильны ли наши умозаключения?
Метод конечных элементов, компьютерное моделирование позволяют увидеть топографию напряжений.
Пример. Рассматривается кость, фиксированная головками к упругой подложке. По кости в средней ее части осуществляется воздействие острого индентора. На рисунке 6 приводятся результаты математического моделирования методом конечных элементов процесса разрушения кости (это один из слайдов).
Пусть Вас не пугает смена цветов (на схемах выше мы сжатие отмечали красным, а растяжение синим). Компьютерная программа (если не изменять настроек) наиболее критические состояния отмечает (а они в данном случае в зоне растяжения) оттенками красного цвета.
Рис. 6. Внедрение индентора под углом 90°. Оттенками красного отмечены растягивающие напряжения, оттенками синего – сжимающие
Как такой перелом выглядит в реальности? На рисунке 7 представлен полный поперечный (безоскольчатый) перелом большеберцовой кости. Удар нанесен по гребню большеберцовой кости сосредоточенной силой – острым индентором (средней частью лезвия топора).
Рис.7. Полный поперечный перелом большеберцовой кости (действие острого индентора)
Сосредоточенная сила… кто-то из практических экспертов скажет: «да где ее встретишь, ну тупой топор и что-нибудь подобное…ты нам бампер подавай».
Давайте попробуем разобраться в этом вопросе вместе. Представим, что наезд на пешехода произошел сзади (рис. 8).
Рис. 8. Наезд ТС на пешехода сзади
Упрощаем задачу, приняв, что силы трения и инерции тела в сравнении с импульсом удара бампера формируют прочную фиксацию обоих концов балки (ноги), но суставы обеспечивают возможность поворота как минимум в одной плоскости, а бампер автомобиля прямоугольной формы, шириной, например в зоне контакта 5-6 см.
Рассмотреть взаимодействие балки и предмета, которые имеют определенную форму и размеры достаточно сложно. В сопромате этот сложный процесс называется контактной задачей. При ее решении приходится учитывать и силы трения, и форму контактирующих поверхностей. Чтобы упростить такую сложную задачу, заменим бампер группой сил, действующими на определенном ограниченном участке (рис.9).
Рис. 9. Построение схемы нагружения
Как будет выглядеть эпюра максимальных растягивающих напряжений в этом случае? Напряжения некоторым образом суммируются, и вершина треугольника получается сглаженной (рис.10)
Рис. 10.
Непонятно? Предлагаю призвать на помощь резинку… Крепим резинку к двум точкам опоры и сыпем на нее песок (с единственным допущением, что он распределяется на строго определенном нами участке, соответствующем границам крайних сил и не пересыпается за пунктирные линии рисунка) (рис.11). Получаем эпюру максимального растягивающего напряжения по длиннику балки! (и этот способ математически верен!).
Рис.11.
Из построенных эпюр видно, что прогнозируемая зона разрыва должна реализоваться в области «сглаженной» вершины, которую мы вам дали на схеме с «увеличением» на рисунке 9.
А что же происходит на поверхности балки со стороны воздействия индентора? Эпюра напряжений в области контакта индентора и балки имеет следующий вид (рис.12):
Рис. 12
Верны ли наши рассуждения? Сравним наши данные с данными моделирования процесса нагружения балки тупым (прямоугольным) индентором. На рисунке 13 наглядно демонстрируются поля напряжений, как в зоне растяжения, так и в зоне сжатия (использованная программная среда не отличает растяжение и сжатия; синим цветом и его оттенками отмечены зоны «спокойствия», а оттенками красного – «критические» участки). Для наглядности к картине полей напряжений мы «прикрепили» индентор и точки опирания.
Рис.13
Теперь рассмотрим процесс формирования перелома. В зоне наибольшего растяжения, где-то в области сглаженной вершины, построенной нами, появляются микроразрушения (рис.14,а). Микроскопические разрушения объединяются, и формируется разрыв. Зарождение и разрыв… полукруглая блестящая мелкозернистая поверхность с отвесными краями дает развитие магистральной трещине, появляются касательные напряжения (к ним мы обратимся обязательно, но чуть позже), направленные под углом 45° к нормали. Формируется поверхность излома, на которой регистрируются рубцы в виде шевронов, елочки и т.д. … Куда идти трещине? (на рисунке 14,б мы ее отметили зеленым цветом).
Рис.14.
Ровно посредине кости зона растяжения сменяется зоной сжатия (см. рис.3 – эпюра в виде «двух треугольников»). На рисунке 1, и, соответственно в первом абзаце, мы приняли как аксиому, что эпюры максимальных сжимающих и растягивающих напряжений симметричны. Поэтому эпюра максимального сжимающего напряжения аналогична эпюре растягивающего напряжения и имеет форму в виде треугольника со скругленной вершиной (рис.15).
Рис.15.
Трещина, определяясь с направлением развития, решает проблему самым энергетически выгодным способом – идет по пути наименьших затрат.
Движение по пути наименьшего сопротивления. Направление наименьшего сопротивления соответствует точкам опоры (поскольку на всем пути напряжения растягивающие, зоны сжатия, которые необходимо преодолевать, не встречаются), но расстояние при этом, которое предстоит преодолеть трещине, наибольшее (рис.16).
Рис.16.
Движение по наикратчайшему пути. Самое короткое расстояние для пересечения толщи кости – это путь от зоны разрыва к точке контакта с индентором (рис.17). Но здесь располагается зона наибольшего сжатия (то же не выгодно). Выход простой – эту зону надо обойти.
Рис.17.
Трещина принимает соломоново решение (между «расстоянием» и «сопротивлением»): она берет направление близкое к 45° к длиннику кости (рис.18)
Рис.18.
А как же индентор и локальное нагружение? Локальное нагружение трещина воспринимает совершенно реально и обходит его тоже (рис.19).
И если нагружение симметричное, трещина раздваивается и формирует треугольный отломок (рис.19,а), а если не симметричное – косой перелом (рис.19,б) (несимметричное нагружение может быть вызвано отклонением силы от перпендикулярной оси, изменением сечения кости, условиями опирания, всем тем, чего в биосистемах больше, чем достаточно).
Рис.19.
В итоге, получаем перелом (рис.20), подобный изображенному на рисунке 19,а.
Рис. 20.
Источник
Коллеги! Пока было все просто, дальше будет еще проще. Следует запастись терпением, ведь сопромат учат по 1-3 года, а у нас с Вами всего четвертое занятие.
Сейчас я выложу несколько коротких топиков по примерам построения эпюр. Сразу сообщаю, что примеры совершенно реально работают и требуются в реальной практике. Параллельно мы будем (как бы между делом) и рассматривать деформации: кроме простых, которые мы рассматривали ранее, мы нырнем поглубже и попробуем развеять миф о том, что все переломы строго индивидуальны и один абсолютно не похож на другой хотя условия нанесения были вроде бы одинаковые.
Итак, его величество ИЗГИБ.
рис.1
Буквами А и В отмечены точки фиксации балки, точкой С — место приложения силы Р.
Деформация характеризуется искривлением оси (рис.2) или прогибом срединной поверхности деформируемого объекта под действием внешних сил. Применительно к плоской (то есть к двух мерной фигуре) при изгибе один наружный слой стержня (или какого другого объекта) сжимается, а другой наружный слой стержня растягивается. Средний слой (нейтральный) изменяет лишь свою форму, сохраняя длину. Степень деформирования бруска, имеющего две точки опоры определяется по перемещению, которое получает середина стержня и называется стрелой прогиба. В зависимости от направления действия сил выделяют продольный изгиб, развивающийся под действием сил, направленных вдоль бруска и приложенных к его концам навстречу друг другу и поперечный изгиб, возникающий под действием сил, направленных перпендикулярно брусу и приложенных как к его концам, так и в средней части.
рис.2
Пока все понятно… проходили… но где эпюры? и что это такое?
Для упрощения исследования распределения напряжений в элементе конструкции наиболее удобно пользоваться графическим изображением изменений силы вдоль оси элемента конструкции. Абсциссы (горизонтальная ось) указывают положение сечения вдоль оси z, а ординаты (вертикальная ось y)– величины изгибающего момента и прорезывающей силы, которые действуют в этом сечении, положительные – вверх, отрицательные вниз. Такие графические изображения носят название эпюр изгибающего момента и прорезывающей силы (рис.3).
рис.3
В сечении балки возникают сжимающие и растягивающие напряжения, приводящие к изгибающему моменту (обозначается буквой М), действующему в плоскости yz (эти координаты мы выбрали по нашему усмотрению, что бы не заморачиваться на привычном ху…).
Кроме указанных напряжений (они называются нормальными) в сечении балки возникает система касательных напряжений, которая приводит к поперечной силе Q, действующей в плоскости сечения. Поскольку в одном абзаце рассказать про прорезывающую силу и изгибающий момент не возможно: одно цепляется за другое (появляются касательные напряжения, про которые мы не проходили, касательные напряжения потянут за собой теорию напряженного состояния)… Мы, дорогой читатель, предлагаем верить нам (мы и до этого старались тебя не обманывать) на слово: суть эпюры заключается в том, что:
- она показывает, где плохо (что соответствует зоне растяжения — ведь ткани намного слабее на разрыв нежели чем на сжатие)
- она показывает, где совсем (ужасно) плохо (в месте, где она резко меняет знак плюс на минус и наоборот). Кому ж понравится такой контраст?
- и на конец она показывает, где конструкции абсолютно наплевать на всякие приложенные силы.
Вернемся к рисунку № 3 (мы его выбрали не случайно, его все видели в книжках про «поломатые» кости).
Первый график, треугольной формы (эпюра изгибающего момента), показывает, где прогнозируется наибольший прогиб балки, где должна располагаться зона наибольшего растяжения.
Второй график рассматривает, можно сказать, балку в третьем измерении, в плоскости ху, то есть плоскость проходит перпендикулярно Вашему экрану. График, состоящий из двух «кирпичиков», соединяющихся вершинами, показывает, что верхняя половина балки испытывает деформацию сжатия, а нижняя – растяжение. Точка резкой смены сжатия на растяжение является критическим сечением данной балки.
Что мы имеем в результате? В над поперечным сечением, проходящим через точку С (соответствующей месту приложения травмирующей силы) сгустились тучи, критическая ситуация именно здесь.
Наши прогнозы оправдались, полный поперечный перелом будет именно здесь! (рис.4)
рис.4
Все понятно? А почему место приложения травмирующей силы (вверху) и зона разрыва не строго в поперечной секущей?
ответ на этот вопрос мы рассмотрим в следующей теме
Источник
Что такое внутренняя поперечная сила и изгибающий момент?
Поперечная сила – это внутренняя сила, возникающая в поперечном сечении элемента конструкции в ответ на действие внешних сил, дающих проекцию на одну из осей x или y поперечного сечения.
Изгибающий момент – это внутренний момент, возникающий в поперечном сечении элемента конструкции в ответ на действие моментов от внешних сил относительно одной из осей x или y поперечного сечения. Например:
В приведенном примере мы видим, что внешняя сила F дает проекцию на ось у поперечного сечения балки и в ответ возникает поперечная сила Qy. Кроме этого сила F создает момент с плечом z относительно оси х, который должен быть уравновешен внутренним моментом Мх.
Зачем нужно уметь строить эпюры поперечной силы и изгибающего момента?
Это необходимо для определения положения опасного сечения и дальнейшей оценки прочности и жесткости конструкции.
Чтобы научиться строить эпюры внутренней поперечной силы и изгибающего момента надо знать!
1. Метод сечений и следующие основные закономерности для построения эпюр Qy и Мх, основанные на этом методе:
· От действия внешней сосредоточенной силы на эпюре Qy должен быть скачок на величину силы в сторону знака ее воздействия, на эпюре Мх – перелом, острие которого направлено навстречу действию силы.
· От действия сосредоточенного внешнего момента на эпюре Qy не происходит изменений (она на него не реагирует), на эпюре Мх должен быть скачок на величину момента в сторону знака его воздействия.
· Если участок пустой (без распределенной нагрузки), то на эпюре Qy будет прямая, параллельная базе, на эпюре Мх – прямолинейная зависимость с угловым коэффициентом, равным Qy этого участка.
· Если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой, то на эпюре Qy будет наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным интенсивности нагрузки q, на эпюре Мх – квадратичная парабола с квадратичным слагаемым . Выпуклость параболы направлена навстречу действию нагрузки.
· Если наклонная прямая на эпюре Qy пересекает базу, то в соответствующем сечении на эпюре Мх будет экстремум, определение которого обязательно!
· Правильность построенных эпюр можно проконтролировать, используя существующую дифференциальную зависимость между Qy и Мх: . Анализ по участкам эпюр надо проводить в строгом направлении слева направо. Если поперечная сила Qy на участке положительна, то функция момента Мх должна быть возрастающей, и наоборот, если Qy отрицательна, то функция Мх должна быть убывающей.
2. Правило знаков для поперечной силы и изгибающего момента.
Правило знаков для поперечной силы Qy
Поперечная сила считается положительной, если вызывающая её внешняя сила поворачивается относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, и наоборот. Внутри эпюры Qy ставится знак «+» или «–».
Правило знаков для изгибающего момента Мх
Ординаты на эпюре изгибающего момента откладываются в сторону сжатых волокон, и знак внутри эпюры не ставится.
Например:
Алгоритм построения эпюр Qy и Мх
экспресс методом по характерным сечениям
1. Обозначить характерные сечения на расчетной схеме.
Для этого надо знать: Характерное сечение – это сечение на расчетной схеме, где находится сосредоточенная сила, начало и конец действия равномерно распределенной нагрузки, сосредоточенный момент (только для эпюры изгибающего момента).
2. Определить количество образовавшихся участков.
Для этого надо знать: Участок – это часть длины на расчетной схеме между характерными сечениями.
3. Начинать построение эпюры Qy и Мх следует с любого крайнего участка. Сначала проанализировать состояние в начальной точке (делать скачок или нет в зависимости от наличия сосредоточенной силы для Qy или сосредоточенного момента для Мх). А затем анализировать состояние на участке для определения типа функции Qy и Мх в зависимости от загруженности участка по длине.
Для выполнения этого пункта необходимо использовать основные закономерности при построении эпюр Qy и Мх.
4. Для определения значения Qy в конце участка, загруженного равномерно распределенной нагрузкой, следует изменить значение Qy в начале участка на величину, равную произведению интенсивности нагрузки q на длину участка. В случае незагруженного участка значение Qy в конце будет таким же, как в начале участка.
5. Для определения значения Мх в конце участка следует рассмотреть часть балки (или рамы) до точки конца участка со стороны движения по участку. Определить величины моментов от всех нагрузок, находящихся на рассматриваемой части балки, относительно данной точки и сложить их алгебраически, применяя правило знаков.
Рекомендация: Для удобства вычисление момента в характерном сечении можно делать в табличной форме:
заменив правило знаков, использующее «+» и «–» на занесение моментов в таблицу, в одном столбце которой должны находиться моменты от нагрузок, изгибающих балку относительно сделанного сечения так, что сжаты волокна верхние (вв.), а в другом – моменты от нагрузок, изгибающих так, что сжаты нижние волокна (нв.). Особенно это удобно делать при вычислении моментов в характерных сечениях при изгибе вертикальных стержней, у которых в изогнутом виде могут быть сжаты либо левые волокна (лв.), либо правые (пв.). Подсчитываем сумму моментов в каждом столбике и затем вычитаем из большего меньший результат. Полученную разность записываем под нижней чертой в столбик с большим результирующим моментом. Ординату этой величины откладываем в данном сечении от базы на те волокна, которые соответствуют положению результата в таблице.
6. При переходе от участка к участку необходимо четко соблюдать направление построения эпюры, т.е. движения по участку, и повторять действия п. 3.
7. После завершения построения эпюр Qy и Мх провести проверку правильности полученного решения:
· Убедиться в наличии скачков на эпюре Qy в сечениях, где есть сосредоточенные силы; на Мх – в сечениях, где есть сосредоточенные моменты.
· Убедиться в правильности типов функций Qy и Мх по участкам и соотношения выпуклости параболы с направлением равномерно распределенной нагрузки.
· Убедиться в правильной взаимосвязи функций Qy и Мх по участкам, согласно соотношению , т.е. слева направо в пределах каждого участка при Qy>0 Мх, при Qy<0 Мх¯. Если эпюра Qy пересекает базу, в соответствующей точке на эпюре Мх должен быть экстремум, величину которого необходимо обязательно определить.
Источник